Filosofia

Pallido Puntino Blu

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August 25, 2020

La rigida mattina di febbraio in cui Euclide morì, dopo un’agonia incessante che non si abbassò a sentimentalismo o timore di teorici e matematici, il cielo era ceruleo, acceso da corpi celesti rimasti fino ad allora invisibili. Il fatto dolse gli intellettuali di fine Ottocento, poichè si iniziava a comprendere che l’incessante e vasto universo conosciuto già si separava dall’uomo, e che quel mutamento sarebbe stato il primo, primo d’una seria infinita.

Questo pronostico suscitava orrore, ancor più del decesso accaduto.

Mileto, VI secolo a.C.

Infinità: dimensione spazio-temporale indifferenziata, indefinita, senza fine, impostora affascinante che dalla primitiva scintilla di pensiero ha tormentato spiegazioni filosofiche, interpretazioni letterarie, fisiche e metafisiche, ognuna operante seguendo un medesimo obbiettivo, ovvero cercare di catturarla in una definizione che fosse il più razionale possibile. Una sudata e maledetta ricerca direttamente proporzionale alla distanza dalla sua conquista, perché tesa verso ciò che più inafferrabile, indeterminato, illimitato pare esistere.

L’infinito ricevette battesimo di apeiron, “inizio”, dai filosofi presocratici, attendendo un paio di secoli per un primo approfondimento specifico esposto da Aristotele, il quale scriveva:

A ragione tutti pongono l’infinito come principio (…) esso non ha un principio, ma sembra essere principio di tutte le altre cose e tutte abbracciarle e governarle, come dicono quanti non pongono altre cause oltre l’infinito“. [1]

Da quel momento in poi tal principio subì disparati stravolgimenti e complicazioni, tra le quali la necessaria distinzione tra un tipo di infinito in atto, ed uno in potenza.

L’actu infinitus appare come totalità compiuta secondo una specifica modalità ontologica.
L’infinito potenziale o privativo, invece, come successione infinita di elementi sempre incrementabile, priva di compimento.

In termini aristotelici non era possibile ammettere l’esistenza di un infinito attuale, né fisico, né mentale; esso è perennemente incompiuto, in potenza, per questo imperfetto. La discussione era cominciata con un “la” squisitamente logico, ma sebbene Aristotele sia apparso innovativo e grande fondatore di una introduzione a rigore sull’argomento, la trattazione speculativa divenne la principale per gran parte dei secoli successivi. Probabilmente perché nessuno, salvo rare eccezioni, dubitava della correttezza e veridicità dell’Organon. L’infinito era potenziale, ipse dixit. Se preso nella sua attualità poteva al limite coincidere con l’Assoluto, con Dio, ma in questo caso si trattava una riflessione spirituale e un’entità intellettualmente irraggiungibile.

Certamente le ricerche matematiche al riguardo non scomparvero nel corso dei secoli seguenti, tuttavia si dovette attendere il 1600 perché si arrivasse ad un’intuizione che avrebbe aperto nuovi importanti orizzonti al mondo scientifico sulla materia infinita.

Jena, 1663

Un dotto tedesco, nel tentativo di individuare “un metodo generale nel quale tutte le verità della ragione fossero ridotte a una specie di calcolo[2] incluse come protagonista della sua impresa il regno dell’Assoluto (altro modo di chiamare l’infinito).

Così facendo riaprì i battenti di infinito alla matematica, permettendole di “abbassarne” la misticità al reale. Introdusse il cosiddetto calcolo infinitesimale, riesumando quantità numeriche conosciute, gli infinitesimi, per renderli fondamentali nel suo approccio rationinator.

Gottfried Wilhelm Leibniz, geniale e rivoluzionario nella proposta, non fornì tuttavia un ruolo abbastanza definito ai suoi personaggi, apparentemente oscillanti tra una natura attuale (per la quale gli infinitesimi si presentavano come enti matematici effettivi) ed una potenziale (dove gli infinitesimi si avvicinano infinitamente allo zero). L’obbiettivo del suo calcolo era chiaro, spiegare la legge di quella continuità che tutto lega, uniformemente ed ininterrottamente.

Furono i matematici del 1700 a sviscerare la missione leibniziana: adottando spirito meno precipitoso partirono dalle relazioni tra gli insiemi, recuperando il concetto di funzione, analizzandone il comportamento locale nei termini di continuità. Al fine di eludere qualsiasi complicazione che trasportasse lo studio di funzioni verso derive evanescenti introdussero allora il concetto di limite.

Con nuovi parametri e aggiustamenti nacque quell’analisi che, attraverso diverse nuove nozioni affrontarono le difficoltà della matematica in un periodo in cui stava sempre più dissociandosi dall’àncora geometrica, tendendo a configurazioni poco concrete.

Gottinga, 1854

Geometria e matematica hanno sin dall’antichità camminato l’una fianco all’altra. Per più di duemila anni fu impensabile ipotizzare una loro separazione, specialmente da parte della conoscenza matematica la quale ne avrebbe risentito perdendo la propria solidità empirica di rappresentazioni e asserti, quali per esempio quelli postulati da Euclide.

Nei suoi Elementi il matematico greco aveva impostato una oramai indiscussa esposizione sistematica delle conoscenze geometriche basata su una logica di tipo assiomatico-deduttiva. Cinque furono le sue affermazioni universalmente valide; tuttavia una tra queste, il V postulato delle parallele[3], risultava essere meno intuitivo e non dimostrabile in base agli altri. Proprio per questo motivo, nel corso della storia è stato spesso oggetto di studio e di discussione. Nonostante la sua validità non fosse stata comunque mai messa in dubbio.

Accadde che i cambiamenti che stavano alimentando il dibattito scientifico a partire dal 1700 avevano introdotto davvero notevoli rivoluzioni non solo concettuali ma anche di pensiero: la rivalutazione dell’infinito attuale, ma anche una fiducia sempre più crescente nelle capacità raziocinanti umane condusse all’inevitabile negazione del quinto postulato.

A compiere la svolta fu il matematico tedesco Bernhard Riemann il quale introducendo i concetti di varietà e curvatura spaziali confermò l’esistenza di geometrie alternative, non euclidee, coerenti indipendentemente dal fatto che gli assiomi che ne stavano alla base esprimessero verità empiriche della fisica.

Questa la drammatica vicenda scatenante i dibattiti sulle definizioni di infinito e ancor prima sulle proprietà e fondamenti della matematica, passando da un carattere che per secoli era rimasto certo e in qualche maniera realista a una sempre maggiore astrazione, fino al carattere puramente formale di matematiche private della loro validità empirica. Non fu fulmine a ciel sereno bensì una necessaria conseguenza di quella fucina di innovazioni che avevano riguardato lo sviluppo dell’analisi complessa.

Eppure l’insieme di cambiamenti introdusse qualcosa di spiccatamente nuovo, che mai aveva caratterizzato il progresso scientifico nelle epoche precedenti. Nella storia è spesso capitato che i matematici abbiano dovuto affrontare momenti di incertezze riguardo i metodi sui quali facevano affidamento o le ricerche che conducevano; tali erano i cosiddetti periodi di crisi seguiti sempre da un periodo di rigore, che conduceva quasi naturalmente e dialetticamente ad un altro momento di crisi e così via.

La matematica è un vero e proprio laboratorio di pensiero e come ogni tanto capita dentro un laboratorio gli esperimenti possono fornire dati ed esiti soddisfacenti, inaspettati o incontrollabili che comunque richiedono continua attenzione e messa in discussione.

Per curare le piaghe lasciate dall’Ottocento non bastarono più nuovi concetti e nozioni grammaticali; quello a cui il progresso stava assistendo era un vero e proprio cambio prospettico, di mentalità, sommato da tante piccole rivoluzioni che insieme iniziarono a mettere in discussione altri campi disciplinari oltre che quelli prettamente scientifici.

In un quadro simile l’intervento di una guida superiore, vecchia quanto il tempo, scienza di tutte le scienze, accantonata per tutto il corso di nascita e delineamento dell’analisi, era diventato indispensabile. La filosofia così riapparve in scena, cercando di fornire giustificazioni o correttivi necessari a ripristinare la fiducia nella sensatezza e validità della produzione matematica.

Molti furono quelli che cercavano di evocare ogni circostanza delle molte immagini di Euclide; ma più gli anni passavano più aumentavano i numeri di chi abbandonava la speranza di fondamenta sulle nuove aree spoglie.

Finché un giorno qualcuno si fermò, favorito da una pioggia torrenziale, scegliendo di non aver paura della terra desolata, ma di calpestarla per tornare ad edificarvici.

Berlino, 1874

Il filosofo e matematico Georg Cantor, fondatore della moderna teoria degli insiemi stravolse e sconvolse i matematici del tempo trattando l’attualità infinita attraverso simboli di sua invenzione, i numeri cardinali transfiniti, coi quali è possibile introdurre ordinamenti e operazioni tra insiemi infiniti analogamente all’aritmetica.

La complessa nonché sbalorditiva rivoluzione cantoriana dava segnale dell’esistenza di un infinito sì indicibile ma affiancato da più tipi di infinito determinati e individuati da un nuovo segno: l’aleph ().

L’infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un’essenza mistica completamente indipendente, in Dio, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico.”

Concettualmente parlando ciò che Cantor ammise era l’ipotesi di un infinito attuale e rappresentabile, tuttavia non più circoscritto ad una dimensione spazio-temporale impercepibile come quella accennata all’inizio del nostro viaggio storico. Stava introducendo qualcosa che sarebbe stato approfondito di lì in avanti: la possibilità di porre in un discorso logico e ordinato l’infinito.

Interlaken, 1874

L’Ottocento si rivelò secolo ricco di teorie fondazionali dell’aritmetica e forse proprio questa ricchezza dipinge un quadro d’insieme apparentemente confusionario circa la storia dell’infinito. Cantor, attraverso le sue intuizioni e dimostrazioni, aveva aperto portali di domande, interpretazioni, antinomie, ma la cosa davvero significativa che fece fu sciogliere possibili horror o tabù sulla trattazione del temuto infinito, straniero che nessuno dalla morte di Euclide aveva avuto coraggio di accogliere in casa, limitandolo alla soglia, senza concedergli ingresso in una sistematica impresa. Non fu il solo.

Un’altra operazione raffinata che ancora concesse la trattazione dell’infinito in termini squisitamente logici e fu la semantica rivoluzionaria adottata da Gottlob Frege, l’Ideografia, riducendo l’aritmetica e i numeri naturali alla nuova logica, che andò a sostituire quella dei secolari e indiscutibili sillogismi aristotelici.

Il punto dell’indagine, tuttavia, è quello di constatare come Cantor, Frege e altri pensatori del periodo furono autorevoli menti che, nonostante vittime dello stesso colpo di pistola sparato di lì a poco da molti paradossi (celebre quello di Bertrand Russsell), diedero avvio e spazio a innumerevoli soluzioni e dibattiti su una nuova visione della matematica. Furono loro a ufficializzare un dialogo tra questa e la filosofia, piantando il seme di un linguaggio scientifico universale che da lì fino ai giorni nostri continua a sbocciare e rifiorire.

La storia dimostra come la ricerca sia un campo minato di paradossi, così come di straordinarie conquiste e invenzioni, le stesse che spinsero un folle matematico tedesco a definire l’onnipotente infinito con una singola lettera dell’alfabeto, simbolo carico di mistero e spessore.

Il suo aleph non fu scelta casuale; forse questa sua stessa scelta più di ogni altra cosa sconvolse i matematici e tutti gli intellettuali della sua epoca. I varchi da lui aperti al dialogo matematico-filosofico, matematico-psicologico, cela in sé tantissime altre possibili connessioni.

Indagandole, comprendendole e attuandole andremo sempre più vicini a capire perché l’aleph e cos’è l’aleph, l’infinito. Forse, come molti romantici credono, l’infinito è una stella irraggiungibile. Forse, come i poeti direbbero, è un interminato spazio oppure, si trova sotto la stanza da pranzo.

Quel che è certo è che l’abbiamo scoperto da bambini, prima che andassimo a scuola. Perché qualcuno alla nascita ci ha suggerito che in cantina, andando a fondo, c’è un mondo, un luogo dove si trovano, senza confondersi, tutti i luoghi, il cui privilegio intuitivo è accordato per permettere alla conoscenza di crescere e individuarne l’inalienabile ricchezza. Forse Aleph è un punto nell’universo. Forse matematici, psicologi, letterati, logici, fisici ci stanno suggerendo essere semplicemente un pallido puntino blu, un corpo celeste che non potremo mai vedere nella sua interezza, poichè l’unico modo per conoscerlo non è pretendere di averlo, ma viverci.

 Articolo di Annalisa Mazzolari

 Laureata alla triennale di Filosofia presso l’Università degli studi di Trento, prosegue con il biennio magistrale a Milano. Oltre alla filosofia coltiva la passione per la musica: diplomata all’ottavo anno di pianoforte presso il Conservatorio di Brescia e in canto lirico presso il Conservatorio di Bergamo.

 

 

 

 

Note

[1] Aristotele, Fisica sez. 4, 203, b,3, (IV secolo a.C.)

[2] Leibniz, Dissertatio de arte combinatoria, (1666)

[3]Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.” Euclide, Elementi (300 a.C. ca.).

Bibliografia

  • Boccuni F., Sereni A., I fondamenti della matematica: I concetti e il contesto
  • Bostock, D. (2009), Philosophy of Mathematics, an Introduction, Wiley-Blackwell, London
  • Bischi G.I., Darconza G., Lo specchio, il labirinto e la farfalla, Il postmoderni in letteratura e matematica, els La Scuola, 2018
  • Borges J.L. – L’Aleph, Universale economica Feltrinelli, 1959
  • Ferreiros J., The Labyrinth of Thought, 2007
  • Lolli G., La questione dei fondamenti tra matematica e filosofia
  • Rossi R., Appunti di Analisi Matematica 1– Università degli studi di Brescia, 2019
  • Stranford Encyclopedia of Philosophy (2008), Dedekind’s Contributions to the Foundations of Mathematics
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